Чему равна производная суммы двух функций

29.06.2025 в 0:42

В дифференциальном исчислении существует простое, но важное правило для нахождения производной суммы функций. Это правило является одним из основных при дифференцировании сложных выражений.

Формулировка правила

Производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме их производных:

Доказательство правила

1. Рассмотрим функцию h(x) = f(x) + g(x)
2. По определению производной: h'(x) = limΔx→0 [h(x+Δx) - h(x)]/Δx
3. Подставляем h(x): limΔx→0 [f(x+Δx)+g(x+Δx) - f(x)-g(x)]/Δx
4. Разбиваем на две части: limΔx→0 [f(x+Δx)-f(x)]/Δx + limΔx→0 [g(x+Δx)-g(x)]/Δx
5. Получаем: f'(x) + g'(x)

Примеры применения

Важные следствия

• Правило распространяется на любое конечное число слагаемых
• Аналогичное правило действует для разности функций
• Не зависит от вида дифференцируемых функций
• Сохраняется при дифференцировании по любым переменным

Практическое значение

Это правило позволяет значительно упростить процесс дифференцирования сложных выражений, разбивая их на отдельные компоненты. Оно является фундаментальным при решении задач математического анализа, физики и инженерных расчетов.