Сумма внешних углов выпуклого многоугольника

28.06.2025 в 19:59

В геометрии сумма внешних углов выпуклого многоугольника является важной характеристикой, которая имеет постоянное значение независимо от количества сторон фигуры.

1. Основная теорема

Для любого выпуклого n-угольника сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, равна 360 градусам.

2. Доказательство теоремы

1. В каждой вершине многоугольника внешний и внутренний углы в сумме дают 180° (смежные углы)
2. Сумма внутренних углов n-угольника равна (n-2)×180°
3. Общая сумма всех смежных пар (внутренний + внешний угол) равна n×180°
4. Вычитая из общей суммы сумму внутренних углов, получаем сумму внешних углов: n×180° - (n-2)×180° = 360°

3. Примеры для различных фигур

4. Свойства внешних углов

• Каждый внешний угол измеряется между продолжением одной стороны и соседней стороной
• Внешний угол дополняет внутренний угол до 180°
• Для правильного n-угольника величина каждого внешнего угла равна 360°/n

5. Практическое применение

Знание этой теоремы используется:

• В архитектуре при проектировании конструкций
• В компьютерной графике при построении полигонов
• В навигации и геодезии
• При решении олимпиадных задач по геометрии

6. Важные замечания

Теорема справедлива только для:

• Выпуклых многоугольников (все внутренние углы меньше 180°)
• Внешних углов, взятых в одном направлении (по или против часовой стрелки)
• Многоугольников без самопересечений

Для невыпуклых многоугольников сумма внешних углов может отличаться от 360 градусов.